Являются ли цены случайным блужданием? Ответ длиной в 120 лет и его пределы

Утверждение «цены акций следуют случайному блужданию» встречается в первых главах любого учебника по финансам. Если понимать, откуда взялась эта гипотеза, что именно она утверждает и где расходится с наблюдениями, легче увидеть, что пытаются исправить последующие модели — в том числе квантовые случайные блуждания, о которых пойдёт речь в следующих заметках.

Отправная точка: Башелье, 1900 год

Модель цен как случайного блуждания восходит к диссертации Луи Башелье «Теория спекуляции» (Théorie de la spéculation), представленной в 1900 году (1). Башелье изучал цены французских государственных облигаций на Парижской бирже и описал изменение цены как сумму малых, взаимно независимых колебаний — за пять лет до того, как броуновское движение получило теоретическое объяснение в физике (2).

В современной стандартной форме предположение делается не о самих ценах, а об изменениях логарифма цены (логарифмических доходностях): они считаются независимыми и распределёнными по одному и тому же нормальному закону. Это геометрическое броуновское движение, на котором основана и теория ценообразования опционов Блэка — Шоулза (3).

Для дальнейшего важны два свойства этой модели.

• Направление нельзя предсказать. По предположению модели сегодняшняя доходность независима от предыдущих.
• Разброс растёт как √t. Стандартное отклонение логарифма цены через t дней растёт пропорционально квадратному корню из времени, а форма распределения на любом временном масштабе остаётся нормальной.

Что подтверждается: направление трудно предсказать

В обзоре 1970 года Юджин Фама свёл воедино идею «эффективного» рынка — рынка, цены которого уже отражают доступную информацию, — и эмпирические работы, её проверявшие. Главный вывод, основанный на проверках сериальной корреляции и фильтрационных правил (правил, совершающих сделки при движении цены на заданную величину): извлечь прибыль, предсказывая направление будущих цен по прошлым движениям, трудно (4).

Последующие исследования в целом это подтверждают. В статье 2001 года Рама Конт собрал одиннадцать статистических свойств, которые снова и снова наблюдаются на разных рынках и в разные периоды, известных как «стилизованные факты» (5). Первый из них — практическое отсутствие линейной автокорреляции доходностей (за исключением очень коротких внутридневных масштабов).

Та часть гипотезы случайного блуждания, которая касается направления, и сегодня остаётся хорошим первым приближением. Но именно первым приближением. Сам Фама различал общую форму эффективного рынка и случайное блуждание, рассматривая последнее как более сильное допущение. А Ло и Маккинли статистически отвергли гипотезу случайного блуждания для недельных доходностей американских фондовых индексов и портфелей, сформированных по размеру компаний, причём отклонение обусловлено главным образом акциями малых компаний (6).

Что не подтверждается: распределение величины

Гипотеза не выдерживает проверки в части распределения величины доходностей.

Тяжёлые хвосты

В 1963 году Бенуа Мандельброт изучил изменения цен на хлопок и показал, что крупные движения происходят гораздо чаще, чем предсказывает нормальное распределение (7). При нормальном распределении отклонение от среднего на пять и более стандартных отклонений случается лишь примерно один раз на 1,7 миллиона — при ежедневных наблюдениях и 250 торговых днях в году это примерно раз в 7000 лет. На реальных рынках такие движения наблюдаются намного чаще. 19 октября 1987 года промышленный индекс Доу — Джонса упал за один день на 22,6% (8) — движение, которое при типичном размере дневных колебаний практически невозможно в рамках нормального распределения.

Тяжёлые хвосты — один из центральных пунктов в списке стилизованных фактов Конта. Хвосты распределения доходностей убывают приблизительно по степенному закону, гораздо медленнее хвостов нормального распределения, которые убывают как exp(−x²/2).

Волатильность приходит кластерами

Второе крупное расхождение — кластеризация волатильности. За крупными движениями чаще следуют крупные, за малыми — малые. Хотя сами доходности почти не коррелируют, автокорреляция их абсолютных значений (или квадратов) положительна и затухает очень медленно (5).

Иначе говоря, доходности почти не коррелированы, но не независимы. По сегодняшней доходности почти нельзя линейно предсказать направление завтрашней, но крупное движение сегодня делает крупное движение завтра более вероятным. Из предпосылки гипотезы «независимые и одинаково распределённые» данные подтверждают лишь более слабое свойство — отсутствие корреляции; независимость не выполняется. Распределение при известной величине недавних движений (условное распределение) меняется изо дня в день.

Рост и падение, временные масштабы

Конт также указывает на асимметрию прибылей и убытков: для цен акций и фондовых индексов наблюдаются крупные просадки, но не столь же крупные подъёмы. Это наблюдение относится к акциям: оно сообщалось для фондовых индексов (9), но, по данным ряда исследований, не подтверждается для отдельных акций. Недавняя перепроверка на внутридневных данных по акциям индекса Dow 30 (около полугода в 2018–2019 годах) также не обнаружила его для отдельных акций (10).

Кроме того, Конт указывает на агрегационную гауссовость: чем длиннее временной интервал, тем ближе распределение к нормальному. Иначе говоря, отклонение от нормального распределения сильнее всего заметно на коротких масштабах.

Пока доходности почти не коррелированы, а их дисперсия конечна, само свойство роста разброса как √t сохраняется в первом приближении. Не выполняется именно форма распределения.

Меняется ли тяжесть хвостов со временем?

Есть исследования, согласно которым тяжесть хвостов меняется со временем. Ан и соавторы оценили показатель хвоста по годам на дневных доходностях 137 американских компаний, непрерывно входивших в S&P 500 с 1992 по 2021 год, и сообщили, что в годы рецессий показатель меньше — хвосты тяжелее (11). Авторы трактуют этот показатель как индикатор стадного поведения инвесторов и обсуждают результат как связь стадного поведения с деловым циклом. Однако годовых оценок всего 30, из них лишь четыре приходятся на годы рецессий, а трактовка показателя как меры стадного поведения — интерпретация авторов.

Если этот результат верен, распределение доходностей нельзя зафиксировать раз и навсегда.

Итог

В итоге гипотезу случайного блуждания можно оценить так.

Свойство	Гипотеза случайного блуждания	Наблюдения
Автокорреляция доходностей (линейная)	Отсутствует	Почти отсутствует (подтверждается)
Хвосты распределения	Нормальные (лёгкие)	Близки к степенному закону (тяжёлые)
Устойчивость величины	Отсутствует	Сильная и долгая
Симметрия роста и падения	Симметричны	Для фондовых индексов сообщается о крупных просадках (для отдельных акций не подтверждено)
Рост разброса	√t, форма всегда нормальная	Разброс примерно √t, форма зависит от масштаба

Чтобы закрыть эти расхождения, было предложено множество моделей. Самой ранней были устойчивые распределения, которые предлагал сам Мандельброт (7). Однако последующие эмпирические работы показали, что показатель хвоста, как правило, больше двух и дисперсия конечна, поэтому устойчивые распределения с бесконечной дисперсией в основном русле были отвергнуты (5) (хотя это оспаривается (12)). Наблюдение, что на длинных интервалах распределение приближается к нормальному, также плохо согласуется с устойчивыми распределениями, форма которых при суммировании не меняется. Позднее были предложены модели типа GARCH, явно учитывающие изменение волатильности (13), модели стохастической волатильности, например модель Хестона (14), и различные модели эконофизики, переносящие в финансы методы физики.

Есть исследования, в которых квантовое случайное блуждание рассматривается как замена классическому случайному блужданию в роли модели распределений (15). Это не утверждение о том, что рынки — квантовомеханические системы, и не речь об ускорении вычислений на квантовых компьютерах; математика квантовой механики заимствуется как инструмент для получения распределений вероятностей. В квантовом случайном блуждании складываются не вероятности, а амплитуды вероятности, поэтому возникает интерференция, и характер расширения распределения и его форма резко отличаются от классического случайного блуждания. Однако его распределение в каждый момент времени ограничено конечным отрезком, а при больших t его форма приближается к определённой форме на конечном интервале (16); оно возникает за счёт иного механизма, чем рассмотренные здесь степенные хвосты. Следующая заметка посвящена тому, что такое квантовое случайное блуждание и чем оно отличается от классического.

---

Эта серия разбирает по опубликованным работам исследования в области квантовых финансов и эконофизики. Она не содержит оценок перспектив каких-либо рынков или активов.