Что такое квантовое случайное блуждание

В предыдущей заметке было показано, что гипотеза случайного блуждания хорошо описывает направление изменения цен и плохо — распределение величины движений. Здесь речь пойдёт об одном из кандидатов на замену, которые сейчас изучаются, — квантовом случайном блуждании. Несмотря на название, начинать с квантовых компьютеров не нужно. Задача — увидеть, что меняется, если заменить в классическом случайном блуждании всего один элемент.

Классическое случайное блуждание

На числовой прямой стоит частица. На каждом шаге подбрасывается монета: орёл — шаг вправо, решка — шаг влево. Через t шагов положение частицы подчиняется биномиальному распределению, которое при росте t приближается к нормальному.

Здесь важны два момента.

• Каждый исход описывается вероятностью, и вероятности складываются.
• Ширина распределения (стандартное отклонение) растёт пропорционально √t. После 100 шагов частица обычно удаляется от начала лишь примерно на 10 шагов.

Это и есть каркас модели цен как случайного блуждания, о которой шла речь в предыдущей заметке.

Квантовое случайное блуждание: что заменяется

Квантовое случайное блуждание предложили Ааронов, Давидович и Загури в 1993 году (1); современная форма, без промежуточных измерений, сложилась в последующих работах (2). Ниже описан наиболее изученный вариант — квантовое случайное блуждание с дискретным временем.

Состояние частицы состоит из двух частей: положения и монеты. У монеты два состояния, орёл и решка, но в квантовой механике она может находиться и в их суперпозиции. Состояние описывается не вероятностями, а комплексными амплитудами вероятности.

Каждый шаг состоит из двух операций.

1. Операция монеты. К состоянию монеты применяется заданная унитарная матрица. Стандартный выбор — матрица Адамара: она переводит орла в равную суперпозицию орла и решки, а решку — в их суперпозицию с противоположными знаками.
2. Условный сдвиг. Компонента «орёл» сдвигается на шаг вправо, компонента «решка» — на шаг влево.

Отличие от классического блуждания в том, что на монету по ходу не смотрят. Исход каждого шага не фиксируется, блуждание продолжается в виде амплитуд. Только через t шагов измеряется положение, и квадрат модуля амплитуды в каждой точке даёт вероятность обнаружить там частицу.

Интерференция меняет форму распределения

Поскольку по ходу ничего не измеряется, амплитуды разных путей, ведущих в одну и ту же точку, складываются. Амплитуды могут быть положительными или отрицательными (в общем случае комплексными), поэтому в одних точках пути усиливают друг друга, в других — гасят. Это интерференция.

В результате распределение квантового случайного блуждания с монетой Адамара выглядит совсем иначе, чем классическое.

• Низкая вероятность в центре, пики по краям. Около начала координат часто происходит взаимное гашение, и вероятность сосредотачивается в окрестности ±t/√2 от начальной точки.
• Ширина растёт как t. Стандартное отклонение растёт пропорционально t, а не √t. Такое расширение называют баллистическим, в отличие от диффузионного.
• Носитель распределения конечен. Через t шагов частица может находиться только между −t и t; вероятность вне этого отрезка в точности равна нулю. Кроме того, Конно показал, что при росте t распределение положения, делённого на t, приближается к определённому распределению на интервале от −1/√2 до 1/√2 (3, 4). Значит, при больших t почти вся вероятность сосредоточена внутри ±t/√2. При симметричном начальном состоянии плотность этого предельного распределения неограниченно растёт к концам интервала (при этом суммарная вероятность вблизи концов остаётся конечной). Два пика — проявление этой предельной формы.
• Начальное состояние задаёт асимметрию. В зависимости от начального состояния монеты распределение может смещаться влево или вправо; при подходящей суперпозиции оно симметрично.

Эти свойства подробно исследованы в работе Амбайниса и соавторов 2001 года (2) и во вводном обзоре Кемпе 2003 года (5).

Без интерференции блуждание становится классическим

Все характерные свойства квантового случайного блуждания возникают из интерференции. В 2004 году Романелли и соавторы (6) разложили эволюцию квантового случайного блуждания на слагаемое, соответствующее классическому марковскому процессу, и слагаемое, описывающее интерференцию. Дисперсия растёт как t² благодаря интерференционному слагаемому; когда интерференция теряется (декогеренция) — например, если на каждом шаге проводить измерение, — дисперсия снова растёт пропорционально t, как у классического случайного блуждания.

Таким образом, все характерные свойства квантового случайного блуждания можно свести к одному добавленному элементу — интерференции.

Квантовое случайное блуждание с непрерывным временем

Существует и квантовое случайное блуждание с непрерывным временем, без монеты. Фархи и Гутман сформулировали его в 1998 году (7) как квантовую систему, эволюционирующую в непрерывном времени на графе. Его математическая конструкция отличается от дискретного варианта, но многие свойства, включая баллистическое расширение, у них общие (5). В исследованиях квантовых алгоритмов используются оба варианта.

Квантовый компьютер не нужен

Квантовое случайное блуждание развивалось в рамках исследований квантовых вычислений. Однако для изучения квантового случайного блуждания на прямой квантовый компьютер не нужен. Состояние после t шагов — это просто набор из двух комплексных чисел для каждой точки (амплитуды орла и решки), и обычный компьютер вычисляет его точно.

Это ещё понадобится, когда речь пойдёт о термине «квантово-вдохновлённый». Ни одна из двух работ, представленных ниже, не показывает ускорения на квантовом компьютере; обе посвящены прежде всего использованию математического аппарата квантовой механики как модели вероятностных распределений. Возможность выполнять модели непосредственно на квантовом компьютере Оррелл называет одним из их преимуществ, упоминают её и Де Баккер и соавторы, но обе модели можно вычислить на обычном компьютере.

Исследования применения в финансах

Работ, применяющих квантовые случайные блуждания в финансах, пока немного. Ниже — две работы разной направленности.

Модель цен опционов (Оррелл, 2021)

Дэвид Оррелл (8) предложил заменить биномиальную модель — модель ценообразования опционов, основанную на классическом случайном блуждании, — квантовым случайным блужданием. Субъективные ожидания инвесторов относительно будущих цен представлены квантовым случайным блужданием до измерения, а наблюдаемые на рынке цены читаются как состояние, зафиксированное измерением. Эта интерпретация заимствована из «квантового познания» — подхода, изучаемого в психологии принятия решений.

В модели Оррелла добавление декогеренции позволяет сколь угодно приблизить результаты к классической модели; декогеренция при этом интерпретируется как влияние внешней информации.

Модель распределения доходностей (Де Баккер и соавторы, 2025)

Де Баккер и соавторы (9) исследовали распределения, порождаемые квантовыми случайными блужданиями, как модели распределения доходностей и сравнили их с классическими моделями: геометрическим броуновским движением, устойчивыми распределениями Леви и степенными распределениями.

Меняя такие параметры, как угол и фаза матрицы монеты и начальное состояние монеты, квантовое случайное блуждание может порождать асимметричные распределения. Кроме того, в статье показано, что для некоторых настроек, рассчитанных на ограниченном числе шагов (на рисунках — 100), получаются распределения с более высокой вероятностью экстремальных значений, чем у нормального распределения (геометрического броуновского движения). Основное утверждение — у него есть гибкость, чтобы описывать распределения, которые трудно получить в классических моделях.

«Более высокая вероятность экстремальных значений» здесь означает сравнение с классическим случайным блужданием с тем же числом шагов (близким к нормальному распределению), а не сравнение формы хвостов при одинаковой дисперсии. Поскольку квантовое случайное блуждание расширяется пропорционально t, при сравнении на одном и том же числе шагов вероятность вдали от центра оказывается выше отчасти просто из-за разного характера расширения. Например, в самом простом случае — симметричное блуждание Адамара без промежуточных измерений — при приведении к тому же стандартному отклонению и сравнении с нормальным распределением расчёт по предельному распределению Конно показывает, что при больших t почти вся вероятность лежит в пределах примерно 1,3 стандартного отклонения от центра, так что хвосты скорее короче (4). Распределения, для которых в статье показана более высокая вероятность экстремальных значений, получены при других настройках, но при любых настройках распределение после t шагов не имеет вероятности вне отрезка от −t до t. Хвосты из предыдущей заметки хорошо приближаются степенным законом и медленно убывают в сторону больших значений. Пики по краям — концентрация вероятности за счёт интерференции, а не степенные хвосты. Могут ли квантовые случайные блуждания объяснить степенные хвосты реальных доходностей, в статье не рассматривается.

Авторы ясно указывают и два ограничения. Первое — гибкость достигается ценой дополнительных параметров. Второе — статья исследует теоретические возможности, а проверка на реальных ценовых данных оставлена для будущих работ. Они также прямо оговаривают, что применение методов квантовой механики не означает, будто рынки являются квантовыми системами.

Итоги

• Квантовое случайное блуждание заменяет подбрасывание монеты квантовомеханической операцией и продолжается в виде амплитуд без промежуточных измерений.
• Интерференция путей даёт распределение с пиками по краям, ширина которого растёт как t, а не √t.
• Носитель распределения конечен (от −t до t); механизм отличается от степенных хвостов.
• При потере интерференции блуждание становится классическим.
• Квантовое случайное блуждание на прямой можно вычислить на обычном компьютере. Обе рассмотренные прикладные работы используют математику квантовой механики как модель вероятностных распределений.
• Исследования применения в финансах находятся на ранней стадии, проверка на реальных данных ещё впереди.

В следующей заметке исследования в финансах со словом «квантовый» разделены на три вида и разобрано, что означает термин «квантово-вдохновлённый» и чего он не означает.