Три вида «квантовых» исследований в финансах: что означает «квантово-вдохновлённый» и чего он не означает

Если искать «квантовые финансы», в результатах вперемешку окажутся квантовые компьютеры, новые алгоритмы и уравнения физики, применённые к ценам акций. Термин «квантово-вдохновлённый» (quantum-inspired) тоже обозначает разное в разных контекстах.

Эти исследования утверждают разное, и оценивать их нужно по разным критериям. Если читать их как одно целое, результаты одного вида легко принять за результаты другого. В этой заметке исследования в финансах со словом «квантовый» разделены на три вида.

1. Вычисления на квантовом компьютере

Первый вид решает вычислительные задачи финансов на квантовом компьютере. Утверждения имеют форму: «ту же задачу можно решить с меньшим объёмом вычислений, чем на классическом компьютере».

Самый известный пример — метод Монте-Карло. При оценке деривативов или измерении риска часто генерируют множество случайных траекторий и усредняют по ним. В классическом методе Монте-Карло число испытаний, необходимое для ошибки ε, растёт (при фиксированном разбросе значений) примерно как 1/ε² (чтобы уменьшить ошибку вдвое, нужно вчетверо больше испытаний). В 2015 году Монтанаро (1) показал, что для случайного вычисления, разброс (стандартное отклонение) которого ограничен величиной σ, квантовая оценка амплитуды сокращает число обращений, необходимых для оценки среднего с ошибкой ε, примерно до σ/ε с точностью до логарифмических множителей (классически оно растёт как σ²/ε²). Одно «обращение» здесь — это однократный запуск всей квантовой схемы, которая готовит распределение вероятностей в виде квантового состояния и затем вычисляет усредняемую величину, например выплату (или обратной ей схемы). Это «квадратичное ускорение» в том смысле, что точность, требующую N классических испытаний, можно получить примерно за √N обращений. Это не означает, что общий объём вычислений во всех случаях сокращается до квадратного корня. Предполагается, что схему можно построить эффективно, и отмечалось, что в зависимости от способа подготовки распределения ускорение может быть утрачено — например, при подготовке логарифмически вогнутого распределения методом Гровера — Рудольфа (2) (3). В 2018 году Ребентрост и соавторы (4) привели конкретную конструкцию его применения к оценке опционов.

Изучаются также применения к задачам оптимизации, например к оптимизации портфеля, и к машинному обучению. Обзор Хермана и соавторов 2022 года (3) (те же авторы опубликовали обзорную статью в Nature Reviews Physics в 2023 году (5)) охватывает три области — стохастическое моделирование, оптимизацию и машинное обучение — и описывает предложенные алгоритмы и возможность их работы на нынешнем и ближайшем поколениях устройств.

Критерии оценки здесь ясны.

• Быстрее, чем что? Сравнивать нужно с лучшим классическим алгоритмом для данной задачи.
• На каком оборудовании? Многие теоретические ускорения предполагают большие квантовые компьютеры с коррекцией ошибок. И в исследовании, оценившем ресурсы, необходимые для оценки деривативов, требуемый масштаб далеко превосходит нынешние устройства (6). На сегодняшних устройствах тех же результатов может и не быть.

2. Квантово-вдохновлённые классические алгоритмы

Второй вид — алгоритмы, которые работают на обычных компьютерах, но созданы на основе идей из исследований квантовых алгоритмов или квантовых систем. Однако термин «квантово-вдохновлённый» употребляется как минимум в трёх разных контекстах, и характер утверждения в каждом свой.

В теории сложности: деквантизация

В теории сложности термин «квантово-вдохновлённый» употребляется в более узком смысле — в работах, где выясняется, действительно ли скорость квантового алгоритма обусловлена квантовыми эффектами.

В 2017 году Керенидис и Пракаш (7) предложили квантовый алгоритм для задачи рекомендательных систем — выбора одного товара для рекомендации данному пользователю при условии, что матрица оценок «пользователь — товар» хорошо приближается небольшим числом компонент (имеет низкий ранг). При допущении, что матрица хранится в специальной структуре данных, допускающей квантовое считывание, алгоритм работает за время, полилогарифмическое по размеру матрицы. В 2019 году Юин Тан (8) обратила внимание, что та же структура данных позволяет и обычному компьютеру считывать элементы и выбирать строки и элементы с вероятностью, пропорциональной квадрату их величины, и показала, что с помощью этих операций классический алгоритм может получить тот же вид результата за время, логарифмическое по размеру матрицы. Это направление получило название «деквантизация».

Область применимости этого результата узка. Речь идёт о задачах линейной алгебры с матрицами низкого ранга, а сравнение справедливо, когда классической стороне дан доступ к данным, равноценный квантовому. Как отмечается в обзоре Хермана и соавторов 2022 года (3), затраты деквантизированных алгоритмов круто растут с рангом матрицы и требуемой точностью, поэтому у квантовых алгоритмов остаётся возможность сохранить полиномиальное преимущество. Сама Тан признаёт, что зависимость от ранга и точности у классического алгоритма гораздо хуже, чем у квантового (8). Это не результат о том, что квантовые алгоритмы в целом можно заменить классическими.

Как методы оптимизации

В комбинаторной оптимизации «квантово-вдохновлёнными» называют и эвристические методы, в которых идеи из исследований квантовых компьютеров реализованы как численные расчёты на классическом оборудовании. Пример — метод, предложенный Гото и соавторами в 2019 году (9): опираясь на исследования квантовой адиабатической оптимизации, предложенной как один из типов квантового компьютера, он численно решает соответствующие классические уравнения движения на обычном компьютере. Такие методы не имеют гарантий сложности; их оценивают по тому, насколько хорошие решения и насколько быстро они находят в реальных задачах.

Как численные методы

Тензорные сети — численный метод, развитый для изучения квантовых многочастичных систем (10) (в вычислительной математике он независимо развит как разложение тензорного поезда (TT-разложение) (11)), — тоже иногда называют «квантово-вдохновлёнными», когда их переносят на приближённые вычисления в областях за пределами физики; в финансах их применяли к оптимизации портфеля (12). Это также методы приближения, работающие на обычных компьютерах.

Общее у трёх значений лишь одно: квантовый компьютер не используется. Первое — теорема о вычислительных затратах при ограниченных допущениях; второе и третье — методы, которые оценивают по их работе на реальных задачах. Встретив слово «квантово-вдохновлённый», прежде всего нужно выяснить, в каком смысле оно употреблено.

3. Модели, описывающие рынки с помощью математики квантовой механики

Третий вид использует математический аппарат квантовой механики как модель рынков или суждений инвесторов. Вычисления выполняются на обычных компьютерах, квантовый компьютер не используется. Обзор исследований, применяющих квантовую математику в общественных науках, дан в (13). Однако внутри этого вида есть два направления с принципиально разными исходными позициями.

3а. Перенос уравнений физики на рынки

Первое направление переносит уравнения физики в описание цен. В 2010 году Чжан и Хуан (14) по аналогии с корпускулярно-волновым дуализмом рассмотрели цену акции как своего рода квантовую систему, определили для неё волновую функцию и операторы и записали уравнение Шрёдингера. Для моделей такого рода прежде всего под вопросом сама предпосылка о том, что рынок можно считать квантовой системой.

3б. Описание суждений с помощью квантовой вероятности

Второе направление использует гильбертов формализм квантовой механики не как описание физической системы, а как одно из правил вычисления вероятностей. Известно, что суждения людей меняются в зависимости от порядка вопросов и контекста. Чтобы описать такие эффекты в классической теории вероятностей, для каждого порядка приходится вводить отдельное допущение. Исходная точка направления в том, что вероятностные правила квантовой механики — описание некоммутирующими операторами, при котором порядок измерений может менять результат, — позволяют обойтись меньшим числом допущений; в психологии принятия решений оно изучается как «квантовое познание» (15). Заранее выведенное из этих правил предсказание об эффектах порядка вопросов было проверено на большом массиве данных опросов (16). Однако в исследовании, проверявшем на аналогичных данных другое предсказание той же модели, её простейшая форма в большинстве случаев не получила подтверждения (17). В 2012 году Аэртс и соавторы (18), используя построение квантовой механики на операциональном уровне (формализм SCoP) и модель, в которой квантовые вероятности возникают из флуктуаций контекста измерения, утверждали, что у акции нет определённой цены, пока по ней не совершена сделка, и что цена актуализируется в контексте торговли. Суть утверждения в том, что контекст торговли придаёт вероятностям цен структуру, не укладывающуюся в рамки классической теории вероятностей. Квантовая механика здесь — не утверждение о том, что рынки физически являются квантовыми системами, а математика для описания суждений, меняющихся с контекстом.

Где место моделям квантового случайного блуждания

Модели квантового случайного блуждания из предыдущей заметки находятся между двумя направлениями. Де Баккер и соавторы (19) используют квантовое случайное блуждание феноменологически, как математический механизм для получения распределений доходностей, и не утверждают, что рынки — квантовые системы. Оррелл (20) даёт квантовому случайному блужданию интерпретацию в духе квантового познания. Заметим, что Де Баккер и соавторы называют свой подход «квантово-вдохновлённым». Этот термин употребляется не только в значениях раздела 2 (теоремы о сложности и вычислительные методы), но и для моделей такого рода. Здесь он означает заимствование математики квантовой механики для модели вероятностных распределений, а не утверждение об ускорении вычислений.

Критерии оценки

Для обоих направлений критерий оценки — не скорость вычислений, а качество модели.

• Насколько хорошо она объясняет реальные данные?
• Что она позволяет объяснить по сравнению с существующими моделями (например, моделями типа GARCH (21) или устойчивыми распределениями (22))?
• Оправдывает ли это дополнительные параметры?
• Можно ли придать параметрам смысл на стороне рынка?

Кроме того, для 3а под вопросом обоснованность представления рынка квантовой системой, а для 3б — наблюдаются ли эффекты контекста в суждениях на самом деле.

Три вида рядом

	1. Квантовые вычисления	2. Квантово-вдохновлённые	3. Модели на квантовой математике
Компьютер	Квантовый	Обычный	Обычный
Форма утверждения	Та же задача решается с меньшим числом испытаний или вычислений	Теорема о сложности при ограниченных допущениях или практическая эффективность	Явление или суждение описывается лучше
С чем сравнивать	Лучший классический алгоритм	Квантовый алгоритм или существующие методы	Существующие статистические модели (для 3б — модели суждений на классической вероятности)
Что проверять	Масштаб и ошибки оборудования, допущения о подготовке данных	В каком смысле; для теоремы — допущения и зависимость от ранга и точности, для метода — условия сравнения	Соответствие реальным данным, число параметров, обоснованность предпосылки (3а), наблюдение эффектов контекста (3б)

Три вопроса при чтении

Читая об исследованиях или продуктах в финансах, называющих себя «квантовыми», полезно задать три вопроса — они помогают увидеть суть утверждения.

1. В каком смысле «квантовый»? Используется квантовый компьютер, классическое вычисление, вдохновлённое квантовыми алгоритмами, или математика квантовой механики как модель?
2. С чем сравнивается? Является ли база сравнения стандартным методом для данной задачи?
3. Где проверено? Это теоретическая возможность, результат на модельных данных или проверка на реальных данных?

Каждый из трёх видов — полноценное исследование в своих собственных рамках. Путаница возникает, когда утверждения одного вида (например, «квантовый компьютер ускоряет») переносятся на другой (например, на модель, работающую на обычном компьютере).

Эта серия охватывает опубликованные исследования в области квантовых финансов и эконофизики в целом. Она не оценивает производительность какого-либо конкретного квантового компьютера и не содержит оценок его перспектив.