Что измеряет технический анализ? Взгляд через условные распределения

В терминах статистики скользящие средние и графические фигуры задают один вопрос: меняется ли распределение последующих доходностей, если обусловить его прошлыми ценами? В заметке разобраны классические работы, проверявшие этот вопрос, и проблема подгонки под данные (data snooping), при которой сам выбор правил влияет на результат.

В предыдущей заметке было показано, что у доходностей почти нет линейной автокорреляции и что в части направления цен гипотеза случайного блуждания остаётся хорошим первым приближением. Тем не менее технический анализ — попытка прочесть будущее по прошлым движениям цены и объёма — используется на финансовых рынках больше века (1). Вопрос этой заметки — не в том, «работает» ли технический анализ, а в том, что именно он измеряет, если перевести его на язык статистики; ответ даётся по классическим работам.

Два языка, одно утверждение

В учебнике по финансовой эконометрике Кэмпбелл, Ло и Маккинли ставят рядом два утверждения (2). Первое — на языке технического анализа: чётко выраженные уровни поддержки и сопротивления вместе с откатом на одну треть, когда цена находится между ними, указывают на сильные возможности для покупки и продажи в ближайшее время. Второе — на языке эконометрики: величина и характер затухания первых двенадцати автокорреляций и значимость Q-статистики Бокса — Пирса указывают на наличие в доходностях акций предсказуемой краткосрочной компоненты. Ло, Мамайский и Ван приводят эту пару, чтобы заметить: оба утверждения говорят одно и то же — прошлые цены содержат информацию о будущих доходностях, — но большинство читателей находят одно правдоподобным, а другое странным (3).

Если отбросить различия в словаре, то для истинности утверждений технического анализа должно выполняться по меньшей мере следующее. Пусть S — некоторая величина, вычисленная по ценам (и объёмам), наблюдаемым до момента t. Когда S принимает определённое значение, распределение последующей доходности r отличается от её распределения в случае, когда S неизвестна. В символах:

p(r | S) ≠ p(r)

Пересечение скользящих средних и графическая фигура вроде «головы и плеч» — лишь разные способы построить S. Каждая из рассмотренных ниже работ проверяет ту или иную часть этого неравенства.

Неравенство — необходимое условие, а не само утверждение. Оно говорит лишь о различии распределений, а не о том, что торговля на его основе приносит прибыль. К этому различию заметка вернётся в конце.

Линейный прогноз и то, что лежит за его пределами

У прогнозирования будущего по прошлым значениям есть устоявшаяся теория. Теория прогнозирования Винера — Колмогорова для слабо стационарных процессов даёт ту линейную комбинацию прошлых значений, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку. В статье 1991 года Салих Нефтчи задаётся вопросом, почему участники рынка предпочитают неформальные технические правила этому оптимальному линейному прогнозу. Далее в статье исследуется, можно ли записать технические правила в виде формальных алгоритмов и при каких условиях они могут улавливать свойства цен, не используемые линейными моделями (4).

Такая постановка вопроса проясняет одну вещь. Если доходности образуют слабо стационарный гауссовский процесс — такой, у которого нормально не только распределение в каждый момент, но и совместное распределение в разные моменты, — то условное математическое ожидание при известном прошлом записывается как линейная комбинация прошлых значений (или её предел, если используется бесконечное прошлое) и совпадает с оптимальным линейным прогнозом. Тогда и всё условное распределение нормально, с центром в линейном прогнозе и постоянной дисперсией. Никакая нелинейная функция прошлых цен, сколь угодно сложная, не улучшит ни прогноз среднего, ни прогноз разброса. Значит, если техническое правило что-то добавляет к оптимальному линейному прогнозу, то лишь потому, что ошибки линейного прогноза, будучи некоррелированными между собой, не независимы от прошлого, то есть существует нелинейная зависимость. Одного отклонения от нормального распределения недостаточно: если сами ошибки линейного прогноза независимы от прошлого и одинаково распределены, условное ожидание при известном прошлом совпадает с линейным прогнозом, даже если это распределение не нормально. Изменение величины колебаний во времени — типичное проявление такой нелинейной зависимости.

Как было показано в предыдущей заметке, реальные доходности «почти некоррелированы, но не независимы». В частности, крупные движения приходят кластерами, а автокорреляция абсолютных доходностей положительна и затухает медленно (5). Раз зависимость, не видимая в линейной автокорреляции, действительно существует, у нелинейных правил в принципе есть возможность что-то уловить. Вопрос в том, видно ли это в статистических тестах, и если видно, то что именно они видят.

Проверка скользящих средних: Брок, Лаконишок и Лебарон (1992)

Уильям Брок, Йозеф Лаконишок и Блейк Лебарон применили два самых простых и распространённых семейства правил — правила скользящих средних и правила пробоя торгового диапазона (выхода за недавний максимум или минимум) — к дневным данным промышленного индекса Доу — Джонса с 1897 по 1986 год (6). Всего правил было 26 (1).

Ключ к методу — бутстреп. Авторы подогнали к данным четыре модели в качестве нулевых гипотез — случайное блуждание, AR(1), GARCH-M и EGARCH, — сгенерировали множество искусственных ценовых рядов, перевыбирая сами доходности в случае случайного блуждания и остатки в трёх остальных случаях, и применили к ним те же правила (6, 1). Значимость оценивается по тому, где результат на реальных данных оказывается в распределении результатов на искусственных рядах. Сильная сторона такой схемы в том, что, меняя нулевую модель, можно спросить: не является ли уловленное правилом структурой, которую модель уже объясняет? Например, GARCH-M включает представление о том, что величина колебаний меняется во времени и влияет на среднюю доходность.

Авторы сообщили, что доходности после сигналов на покупку и после сигналов на продажу различались и по среднему, и по волатильности, что периоды после сигналов на покупку были менее волатильными и что ни одна из четырёх нулевых моделей не воспроизводила эти различия (6). Иначе говоря, различия в среднем и волатильности доходностей после сигналов не воспроизводились даже моделями, явно учитывающими изменение волатильности во времени.

Слабое место исследования признали сами авторы. Правил скользящих средних можно придумать бесконечно много, и некоторые из них, несомненно, будут «работать»; опасность подгонки под данные велика. И им не удалось построить единый тест по всем правилам, учитывающий зависимость между результатами разных правил (1).

Проверка начинается с выбора правил

Подгонка под данные (data snooping) возникает, когда один и тот же набор данных используется больше одного раза для вывода или выбора модели (1). В 1970 году Майкл Дженсен и Джордж Бенингтон сформулировали проблему так: при достаточном машинном времени на таблице случайных чисел наверняка найдётся механическое торговое правило, которое «работает», — если только разрешено проверять его на той же таблице, на которой оно было найдено (7).

Это смещение не обязательно создаётся одним исследователем. Как указывают Райан Салливан, Аллан Тиммерманн и Халберт Уайт, за долгие годы инвесторы и исследователи перепробовали бесчисленное множество правил; те, что случайно хорошо показали себя в прошлом, привлекают внимание и передаются дальше. Если проверять только «выжившие» правила, везение легко принять за мастерство (1).

Чтобы учесть это, Уайт предложил процедуру, известную как Reality Check (8). Вместо того чтобы проверять лучшее выжившее правило само по себе, она помещает его в полное множество правил, из которого оно было выбрано, и проверяет нулевую гипотезу о том, что даже лучшее из них не превосходит эталон, получая распределение максимальной статистики бутстрепом.

Салливан и соавторы применили эту процедуру к множеству из почти 8000 правил, включающему 26 правил Брока и соавторов. Данные — тот же индекс Доу — Джонса, но период продлён до 1897–1996 годов (1). Результаты разделились надвое.

За период, изученный Броком и соавторами (1897–1986), нулевая гипотеза о том, что даже лучшее правило множества не превосходит эталон (хранение средств в денежной форме), была отвергнута и после поправки на подгонку под данные. Reality Check определяет, есть ли во множестве хотя бы одно правило, превосходящее эталон, но не указывает, какое именно. Оценка проводилась и по средней доходности, и по коэффициенту Шарпа, учитывающему совокупный риск.
За следующие десять лет (1987–1996) нулевую гипотезу не удалось отвергнуть на обычных уровнях значимости даже для лучшего правила. Чтобы ограничить влияние транзакционных издержек и ограничений на короткие продажи, Салливан и соавторы проверили правила и на фьючерсах на индекс S&P 500 (за 13 лет, с 1984 по 1996 год) и не нашли там свидетельств того, что правила превосходят эталон.

Отсюда следует, что различия, наблюдавшиеся в выборке 1897–1986 годов, нельзя было полностью объяснить выбором правил, но за пределами этой выборки они не подтвердились. Исчезли ли различия со временем или с самого начала были особенностью той выборки — по одним этим результатам различить нельзя.

Проверка фигур: Ло, Мамайский и Ван (2000)

Скользящее среднее можно записать формулой; графическая фигура вроде «головы и плеч» разным наблюдателям видится по-разному. Именно в этой субъективности Эндрю Ло, Гарри Мамайский и Цзян Ван видят одну из главных причин того, что технический анализ так мало изучался в академической науке (3).

Они попытались решить проблему с помощью непараметрической ядерной регрессии. Цена рассматривается как сумма гладкой нелинейной функции и шума; ядерная регрессия усредняет шум и оценивает гладкую кривую, после чего фигуры определяются механически — по последовательности локальных максимумов и минимумов этой кривой. «Голова и плечи», например, — это пять экстремумов подряд: максимум, минимум, более высокий максимум, минимум, максимум. Так было определено десять фигур — пять типов («голова и плечи», расширяющаяся формация, треугольник, прямоугольник и двойная фигура), каждый в форме вершины и дна (для «головы и плеч» — перевёрнутая форма), — которые выявлялись в окнах по 38 торговых дней, сдвигаемых на один день (3).

Схема проверки отличается от подхода Брока и соавторов. Ло и соавторы указали, что проверка торговой прибыли без полностью заданной равновесной модели ценообразования активов не позволяет установить, является ли эта прибыль чем-то большим, чем вознаграждение за принятый риск. Вместо этого они поставили более базовый вопрос: отличается ли распределение доходностей после появления фигуры от безусловного распределения доходностей (3)? Это, по сути, проверка самого неравенства, с которого начиналась заметка.

Данные: из американской базы CRSP, отдельно акции NYSE/AMEX и акции Nasdaq; период 1962–1996 годов разбит на семь пятилетних подпериодов. В каждом подпериоде случайным образом отбиралось по 10 акций из каждого из пяти квинтилей рыночной капитализации.
Что сравнивалось: распределение однодневной доходности, начинающейся через три дня после завершения фигуры, и безусловное распределение однодневных доходностей. Доходности каждой акции нормировались: из них вычиталось среднее, и результат делился на стандартное отклонение.
Тесты: критерий согласия (хи-квадрат) по децилям и критерий Колмогорова — Смирнова.

По критерию Колмогорова — Смирнова гипотеза о равенстве двух распределений была отвергнута на 5-процентном уровне для пяти из десяти фигур на акциях NYSE/AMEX и для всех десяти на акциях Nasdaq. Отсюда авторы делают вывод, что ряд фигур действительно несёт дополнительную информацию, особенно для акций Nasdaq. При этом они прямо указывают, что это не обязательно означает прибыльность торговли на основе фигур и что фигуры, лучше всего подходящие для обнаружения статистических аномалий, не обязательно лучше всего подходят для торговли (3).

У этого исследования тоже есть ограничения. Выборочные распределения обеих статистик выведены в предположении, что доходности независимы и одинаково распределены (н. о. р.). Сами авторы признают, что для финансовых данных это предположение неправдоподобно и что нормировка доходностей каждой акции не устраняет зависимость и неоднородность (3). Кластеризация крупных движений, о которой шла речь выше, — как раз одна из форм такой зависимости.

Зависимость влияет не только на значения статистик, но и на интерпретацию результатов. Критерий Колмогорова — Смирнова реагирует не только на различие в положении (среднем) распределений, но и на различие в их разбросе (волатильности). Фигуры определяются формой предшествующего движения цены, поэтому на рынке, где крупные движения приходят кластерами, неудивительно, если волатильность после фигуры отличается от волатильности в целом. В таком случае отвержение гипотезы отражает информацию о величине движений, а не обязательно об их направлении. Авторы проверяют методом Монте-Карло с перевыбором, насколько хорошо асимптотическое распределение приближает статистику, но поскольку в этом эксперименте доходности перевыбираются независимо, проблему зависимости он не решает (3). И хотя Ло и соавторы не выбирали десять фигур, глядя на эти данные, фигуры сложились в многолетней практике и передаются из поколения в поколение, так что и они не свободны от проблемы «выживших правил», обсуждавшейся в предыдущем разделе.

Что же измеряется

Если поставить работы рядом, получится следующее.

Работа	Чем обусловлено	С чем сравнивалось	Что остаётся открытым
Брок и соавт. (1992)	26 правил скользящих средних и пробоя диапазона	Искусственные ряды, порождённые четырьмя нулевыми моделями	Нет единого теста по всем правилам
Салливан и соавт. (1999)	Почти 8000 правил	Эталон — хранение средств в денежной форме (оценка по распределению лучшего результата во всём множестве: Reality Check)	Поправка охватывает только правила, включённые в множество; вне выборки различий не обнаружено
Ло и соавт. (2000)	Десять фигур, определённых ядерной регрессией	Безусловное распределение доходностей	Тесты предполагают н. о. р.; отвержение может отражать различие в волатильности

С учётом этого на вопрос «что измеряет технический анализ?» можно ответить так.

Измеряется распределение последующих доходностей, обусловленное функцией прошлых цен. В рассмотрение входит не только среднее, но и волатильность. В результатах Брока и соавторов различия проявились и в том, и в другом.
Есть ли «различие», зависит от того, с чем сравнивать. Различие, значимое по отношению к случайному блужданию, не обязательно значимо по отношению к модели, учитывающей изменение волатильности во времени. Именно поэтому Брок и соавторы выстроили четыре нулевые модели, и именно поэтому предположение н. о. р. ограничивает тесты Ло и соавторов.
Выбор правил — сам по себе часть проверки. Правило, выбранное из тысяч кандидатов, выглядит хорошо уже потому, что было выбрано. После поправки на это есть по меньшей мере один случай, когда различие вне выборки исчезло.
Различие распределений и прибыль от торговли — разные вопросы. Ло и соавторы пишут об этом сами. А как отмечается в обзоре Парка и Ирвина, многие работы, проверявшие торговую прибыль, страдают от проблем в процедуре проверки: подгонки под данные, выбора правил или методов поиска задним числом и трудностей оценки риска и транзакционных издержек (9).

Если переформулировать утверждение технического анализа как статистический вопрос, оно становится одной из форм вопроса о том, есть ли зависимость между прошлыми ценами и будущими доходностями — как проявляющаяся в линейной автокорреляции, так и не проявляющаяся в ней. Чем было обусловлено, с чем сравнивалось и из скольких кандидатов выбрано? Эти три проверки применимы не только к техническому анализу, но и к любой работе, утверждающей, что в прошлых ценах найдена закономерность.

Эта серия разбирает по опубликованным работам исследования в области квантовых финансов и эконофизики. Она не содержит оценок перспектив каких-либо рынков или активов.